電感基礎-RLC電路

一、RLC（串聯）電路的阻抗

如果一個電路由R1、R2、R3組成，那么它的電阻是不是很容易計算？如下圖中的R = R1 + R2 + R3。

圖1-簡單電阻計算

如果一個電路由R、L、C組成，那么它的阻抗是多少？難道也是電阻和阻抗的累加嗎？

圖2-RLC電路阻抗計算

我們知道，當電路中有電感、電容器件時，電路不再表現出純電阻特性，而要用阻抗來描述。

阻抗（Impedance）相比于電阻（Resistance）來說，考慮了兩方面因素：

輸入信號的頻率對阻抗的影響；

計算電壓U和電流I的相位差異；

純電感的阻抗稱為“感抗”，用符號XL表示；純電容的阻抗稱為“容抗”，用符號XC表示。它們統稱為“電抗”（Reactance）。

理想情況下，電阻消耗能量；電容、電感不消耗能量，只是轉化能量。因為這種本質上的差異，數學上將電阻與電抗（電容/電感）用正交坐標系的二維坐標來表示，橫坐標表示電阻，縱坐標表示電抗，特別的，正半軸表示電感感抗，負半軸表示電容容抗：

圖3-阻抗坐標系（復數體系下，橫坐標電阻為實部，縱坐標電容、電感等電抗為虛部）

二維坐標系中，Z（阻抗）可以用復數表示，包含了模|Z|和角度θ兩個信息。不過工程上，阻抗常指Z的模——|Z|，上圖中已列舉了計算公式。

角度θ隱含了電壓U和電流I之間的相位信息：

如果為正數，表示電壓U在相位上領先于電流I；

如果為負數，表示電流I在相位上領先于電壓U。

這方面如果容易搞混，可以從源頭去理解，電感的電流不能突變，先變化的是電壓，呈現電感特性（XL>XC）的感性電路亦是如此；電容的電壓不能突變，先變化的是電流，呈現電容特性（XC>XL）的容性電路亦是如此。

二、阻抗計算案例

下圖中，RLC分別為10Ω、100μH、100μF；輸入信號為50Hz，幅度峰值為10V；求電路阻抗、電流有效值？

圖4-阻抗計算案例

XL = 2π*fL = 2*3.14*50*100^10-6 = 0.03Ω

XC = 1/(2π*fC) = 1/(2*3.14*50*100^10-6) = 31.85Ω

X = XL-XC = -31.82Ω

|Z| = (10^2+31.82^2)^(1/2) = 33.35Ω

Irms = V(s-peak)*0.707/|Z| = 10*0.707/33.35 = 0.212A = 212mA

請注意，通過阻抗算電流或者電壓都是基于RMS（有效值）的，所以幅度峰值10V的電源需要乘以0.707算出有效值。

因為是串聯電路，所以Irms在所有元器件上一致，我們來分別計算一下電感、電容、電阻上的電壓幅度峰值：

V(L-peak) = V(L-rms) / 0.707 = Irms*XL/0.707 = 0.212*0.03/0.707 = 0.01V

V(C-peak) = V(C-rms) / 0.707 = Irms*XC/0.707 = 0.212*31.85/0.707 = 9.55V

V(R-peak) = V(R-rms) / 0.707 = Irms*R/0.707 = 0.212*10/0.707 = 3V

可以看到，RLC三者的電壓幅度峰值，如果全部加起來是大于電源電壓的幅度峰值10V的，之所以這樣，因為RLC各自的電壓在相位上有差異，在某個具體的時間點(t)上此消彼長，所以加起來不會大于電源電壓的幅度峰值10V。

我們來看下仿真波形，體會一下各個元器件上電壓的此消彼長：

圖5-阻抗計算案例-電路仿真波形

三、當輸入信號為諧振頻率時會發生什么？

通過前文講解，看到在計算電路阻抗的時候，會先求出XL（感抗）與XC（容抗）之差，得到電路的X（電抗）大小。

如果XL（感抗）=XC（容抗），那么電路的X（電抗）為0。要到達此目的意味著2π*fL = 1/(2π*fC)，求得f = 1/(2π*(LC)^1/2)：

圖6-諧振頻率

這個頻率稱為“諧振頻率”（Resonance frequency），是由電路中的L和C決定的。

當輸入信號的頻率與諧振頻率一致時，電路的阻抗表現出純電阻特性，而且|Z|最小。L、C兩個元器件的組合對該頻率的輸入信號而言相當于是短路的。

回到圖4中的案例，我們可以計算得到諧振頻率約為1.592KHz，將其作為電源頻率，看到仿真波形如下：

圖7-諧振頻率-電路仿真波形

可以看到L、C上電壓極性相互，相互抵消，所以L、C的組合相當于是短路的。對比一下圖5，在諧振頻率的情況下，電阻上獲得了最大電壓。

當然這是RLC作為串聯電路的情況，當RLC作為并聯電路時，以諧振頻率作為輸入，會發生什么呢？下面先給出結論，你可以想一下為什么。

圖8-RLC串聯電路和并聯電路，發生諧振頻率時的等效電路（最小和最大阻抗）

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